サブシステム（VSG吸収）と SPF/DPF 到達密度の定式化

前稿で SM エレメントの時点不稼働確率 $U_\text{SM}(t)$ を得たので、本稿ではサブシステム水準へ進み、VSG を吸収集合として到達密度 $f_\text{VSG}(t)$ を定式化します。ここでは非冗長系を仮定します。

VSG に対応するサブシステム過程を $(\eta_t^\text{sub})_{t\ge0}$ とし、吸収集合を $\mathcal P_\text{VSG}$ とします。VSG 到達確率を

$$ F_\text{VSG}(t):=\Pr\{\eta_t^\text{sub}\in\mathcal P_\text{VSG}\} \tag{1058.1} $$

と定義します。

VSG 到達密度は

$$ f_\text{VSG}(t):=\frac{d}{dt}F_\text{VSG}(t) \tag{1058.2} $$

です。

次に、IF に対応する確率過程を $(\eta_t^\text{IF})_{t\ge0}$ とし、その危険故障モード集合を SPF 寄与集合と DPF 寄与集合に

$$ \mathcal P_\text{IF} =\mathcal P_\text{IF,SPF}\cup\mathcal P_\text{IF,DPF}, \qquad \mathcal P_\text{IF,SPF}\cap\mathcal P_\text{IF,DPF}=\varnothing \tag{1058.3} $$

と分割します。

このとき、IF の SPF 側および DPF 側の条件付き遷移率を

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \lambda_\text{IF,SPF}:=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF}\mid\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}}{dt},\\ \lambda_\text{IF,DPF}:=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,DPF}\mid\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}}{dt} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1058.4} $$

と定義します。

さらに、決定論的 $K$ による率分解を用いると

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \lambda_\text{IF,SPF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF},\\ \lambda_\text{IF,DPF}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1058.5} $$

です。

まず SPF 項を求めます。条件付き確率の乗法公式より

$$ \Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF},\ \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF}\} =\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_\text{IF,SPF}dt+o(dt) \tag{1058.6} $$

となるので、これを$dt$で割って $dt\rightarrow0$とすると

$$ f_\text{SPF}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_\text{IF,SPF} \tag{1058.7} $$

です。

次に DPF 項を求めます。時刻 $t$ において SM が潜在故障状態にあり、かつ IF が稼働集合にあるとき、その後の微小時間 $dt$ の間に IF の DPF 側故障により VSG に到達する確率は

$$ \Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF},\ \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,DPF}\}\\ =\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_\text{IF,DPF}dt+o(dt) \tag{1058.8} $$

です。したがってこれを$dt$で割って $dt\rightarrow0$とすると

$$ f_\text{DPF}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_\text{IF,DPF} \tag{1058.9} $$

となります。ここで IF 側の故障が希少事象であることから、

$$ \Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\} \approx \Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}U_\text{SM}(t) \tag{1058.10} $$

と近似できるので、

$$ f_\text{DPF}(t)\approx \Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_\text{IF,DPF}U_\text{SM}(t) \tag{1058.11} $$

です。

ここで IF 側については、小確率近似 $\lambda_\text{IF}t\ll1$ の下で

$$ \Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\} =R(t)=e^{-\lambda_\text{IF}t}\approx1-\lambda_\text{IF}t\approx1 \tag{1058.12} $$

(1058.7)と(1058.11)を加えて(1058.12)を用いれば、

$$ f_\text{VSG}(t)=f_\text{SPF}(t)+f_\text{DPF}(t)\approx\lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}U_\text{SM}(t) \tag{1058.13} $$

となります。

最後に、車両寿命を $T_\text{lifetime}$ とすると、VSG の発生確率は

$$ \mathrm{PoF}_\text{VSG}(T_\text{lifetime})=F_\text{VSG}(T_\text{lifetime}) \tag{1058.14} $$

であり、PMHF は

$$ \begin{eqnarray} \mathrm{PMHF}(T_\text{lifetime}) &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\mathrm{PoF}_\text{VSG}(T_\text{lifetime}) =\frac{1}{T_\text{lifetime}}F_\text{VSG}(T_\text{lifetime})\\ &=&\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}f_\text{VSG}(t)\,dt \end{eqnarray} \tag{1058.15} $$

で与えられます。次稿では、前稿の $U_\text{SM}(t)$ を (1058.15) に代入し、PMHF の最終式を導きます。生成行列に基づく別導出は後続で与えます。

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エレメント（修理系）を出発点とする導出（決定論的K、PIR周期一定）

前稿で修理系エレメントの時点可用度 $A(t)$ と Vesely 故障率 $\lambda_V(t)$ を定義したので、本稿では SM エレメントの時点不稼働確率 $U_\text{SM}(t)$ の具体式を導出します。本稿では連続時間マルコフ連鎖の一般論は最小限にとどめ、具体的な生成行列は後続のサブシステム導出で導入します。

確率空間 $(\Omega,\mathcal F,\Pr)$ 上で定義された確率過程 $(\eta_t^\text{SM})_{t\ge0}$ を考えます。任意の $t\ge0$, $s>0$ と状態 $i,j$ に対して

$$ \Pr\{\eta_{t+s}^\text{SM}=j\mid\eta_t^\text{SM}=i,\ \eta_r^\text{SM}=x_r,\ r<t\} =\Pr\{\eta_{t+s}^\text{SM}=j\mid\eta_t^\text{SM}=i\} \tag{1057.1} $$

が成り立つとき、$(\eta_t^\text{SM})_{t\ge0}$ は連続時間マルコフ連鎖です。

斉時連続時間マルコフ連鎖では、微小時間 $dt$ における遷移確率は(1056.8)より

$$ \Pr\{\eta_{t+dt}^\text{SM}=j\mid\eta_t^\text{SM}=i\} =h_{ij}dt+o(dt) \tag{1057.2} $$

で与えられます。

前稿の時点可用度 $A_\text{SM}(t)$ を用いれば、SM エレメントの時点不稼働確率は

$$ U_\text{SM}(t)=1-A_\text{SM}(t) \tag{1057.3} $$

です。

PIR 周期一定を仮定し、検査周期を $\tau$、検査時刻を $\tau_k=k\tau$ とします。区間 $[\tau_k,\tau_{k+1})$ における区間内時刻を

$$ u:=t-\tau_k \qquad \bigl(t\in[\tau_k,\tau_{k+1})\bigr) \tag{1057.4} $$

と定義します。

SM 故障時刻を $\sigma_\text{SM}$ とし、その分布関数を

$$ F_\text{SM}(t):=\Pr\{\sigma_\text{SM}\le t\} \tag{1057.5} $$

と定義します。

本稿では K パラメータを確率試行ではなく、アーキテクチャ能力に由来する母集団分割割合として扱います。SM 母集団ラベルを $C_\text{SM}$ とすると、その割合は

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \Pr\{C_\text{SM}=\mathcal U_\text{SM}\}=1-K_\text{SM,DPF},\\ \Pr\{C_\text{SM}=\mathcal D_\text{SM}\}=K_\text{SM,DPF} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1057.6} $$

です。

このとき、全確率の定理より

$$ \begin{eqnarray} U_\text{SM}(t) &=& \Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\mid C_\text{SM}=\mathcal U_\text{SM}\}\Pr\{C_\text{SM}=\mathcal U_\text{SM}\}\\ &&+ \Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\mid C_\text{SM}=\mathcal D_\text{SM}\}\Pr\{C_\text{SM}=\mathcal D_\text{SM}\} \end{eqnarray} \tag{1057.7} $$

となります。未検出群は寿命全体で故障確率が蓄積し、検出群は PIR ごとに年齢がリセットされるので、

$$ U_\text{SM}(t) =(1-K_\text{SM,DPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,DPF}F_\text{SM}(u) \tag{1057.8} $$

を得ます。

さらに、SM 故障時間が指数分布でかつ小確率 $\lambda_\text{SM}x\ll1$ の下では

$$ F_\text{SM}(x)=1-e^{-\lambda_\text{SM}x}\approx\lambda_\text{SM}x \tag{1057.9} $$

となるので、

$$ U_\text{SM}(t)\approx(1-K_\text{SM,DPF})\lambda_\text{SM}t+K_\text{SM,DPF}\lambda_\text{SM}u \tag{1057.10} $$

となります。

ここで得た $U_\text{SM}(t)$ は、後続のサブシステム導出において DPF 項の時間依存を担う基本量になります。

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upやdownを数式で書いてみます。

非修理系

ランダムプロセス$\eta_s$において、確率変数$X$を無故障稼働時間とします。$\mathcal{M}$を稼働状態のサブセットとし、$\mathcal{P}$を不稼働状態のサブセットとすれば、$X=\inf\lbrace s:\eta_{s}\in\mathcal{P}\rbrace$と示すことができます。

non-repairable elementの瞬間故障率$\lambda(t)$の定義式は、

$$ \lambda(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\lim_{dt\downarrow 0}\frac{\Pr\lbrace X\le t+dt\ |\ t\lt X\rbrace}{dt}\tag{1056.1} $$

であり、(1056.1)を一次展開すれば、

$$ \Pr\lbrace X\le t+dt\ |\ t\lt X\rbrace=\lambda(t)dt+o(dt)\tag{1056.2} $$

となります。ここで(1056.2)に条件付き確率の公式を用いれば、

$$ \Pr\lbrace X\le t+dt\ |\ t\lt X\rbrace=\frac{\Pr\lbrace t\lt X\le t+dt\rbrace}{\Pr\lbrace t\lt X\rbrace}=\frac{f(t)}{R(t)}dt+o(dt)\tag{1056.3} $$

であることから、(1056.2)、(1056.3)の右辺の比較により、

$$ \lambda(t)=\frac{f(t)}{R(t)}\tag{1056.4} $$

修理系

repairable elementのVesely故障率$\lambda_V(t)$は、Christiane Cocozza-Thivent他の論文"The Failure Rate in Reliability. Numerical Treatment"の(1.2)式によれば、

$$\lambda_V(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\lim_{dt\downarrow 0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\mid \eta_t\in\mathcal{M}\}}{dt} \tag{1056.5}$$

であり、(1056.5)を一次展開すれば、 $$ \Pr\{\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\mid\eta_t\in\mathcal{M}\}=\lambda_V(t)dt+o(dt)\tag{1056.6} $$

となります。次に無条件瞬間ダウン強度$h(t)$の定義式は、

$$ h(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=} \lim_{dt\downarrow 0} \frac{\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M},\ \eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\}}{dt} \tag{1056.7} $$

であり、(1056.7)を一次展開すれば、 $$ \Pr\{\eta_t\in\mathcal{M},\ \eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\}=h(t)dt+o(dt)\tag{1056.8} $$

となります。また、point availability$A(t)$は、

$$A(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M}\}\tag{1056.9}$$

で表されます。ここで(1056.6)に条件付き確率の公式を用いれば、(1056.8)及び(1056.9)より、

$$ \Pr\{\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\mid \eta_t\in\mathcal{M}\} =\frac{\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M},\ \eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\}}{\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M}\}} =\frac{h(t)}{A(t)}dt+o(dt) \tag{1056.10} $$

であることから、(1056.6)、(1056.10)の右辺の比較により、

$$ \lambda_V(t)=\frac{h(t)}{A(t)}\tag{1056.11} $$

この記事の改訂版です。

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σ加法族と有限加法族を調べています。有限加法族にたいして無限和まで制約を厳しくしたものがσ加法族なので、有限加法族のほうが広い概念です。すなわち、

• σ加法族であれば有限加法族である。
• 有限加法族であっても σ加法族とは限らない。

そのため、有限加法族であっても σ加法族ではない例があるはずです。そこで、次の記事を参考にしました。https://sorai-note.com/math/algebra-of-sets/

Q 有限加法族であるが、σ加法族で無い例をひとつ挙げよ。

$\mathbb{N}$の部分集合からなる集合族 $$ \mathcal{F}=\left\{S\subseteq\mathbb{N}\mid Sまたは\overline{S}は有限集合\right\} $$ は$\mathbb{N}$上の有限加法族であることを示す。

1. 空集合を含む:
   空集合$\varnothing$は有限集合であるから$\varnothing\in\mathcal{F}$
2. 補集合で閉じること:
   $A\in\mathcal{F}$とすると、$\mathcal{F}$の定義より、$A$または$\overline{A}$のどちらかが有限集合。
   (i) $A$が有限集合のとき
   $\quad\overline{\overline{A}}$が有限集合なので、$\overline{A}\in\mathcal{F}$
   (ii)$\overline{A}$が有限集合のとき
   $\quad\mathcal{F}$の定義より、$\overline{A}\in\mathcal{F}$
   
3. 有限和で閉じること:
   $A, B\in\mathcal{F}$とする。$A$または$\overline{A}$のどちらかが有限集合であり、$B$または$\overline{B}$のどちらかが有限集合。
   (i) $A$も$B$も有限集合のとき
   $\quad A\cup B$が有限集合となるので、$A\cup B\in\mathcal{F}$である。
   (ii)$\overline{A}$または$\overline{B}$が有限集合のとき
   $\quad\overline{A}\cap\overline{B}$が有限集合、すなわち$\overline{A\cup B}$が有限集合なので、$A\cup B\in\mathcal{F}$である。

ここまでで$\mathcal{F}$は有限加法族であることが証明された。次に$\mathcal{F}$が加算和で閉じないことを示す。各$n\in\mathbb{N}$に対し、$A_n={2n}$とすると、これらは有限集合なので、$A_n\in\mathcal{F}$であるが、 $$ \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n=\{2n\mid n\in\mathbb{N}\}=\{0, 2, 4, 6, ...\} $$ は無限集合であり、その補集合 $$ \overline{\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n}=\{2n+1\mid n\in\mathbb{N}\}=\{1, 3, 5, 7, ...\} $$ も無限集合である。従って、$\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\notin\mathcal{F}$となる。

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任意の集合$A$及び$B$について、以下の2つの等式が成立する。 $$ \overline{(A\cap B)}=\overline{A}\cup\overline{B}, 及び\overline{(A\cup B)}=\overline{A}\cap\overline{B} $$

証明： 記号$\lor$を論理和、$\land$を論理積とする。全体集合を$\Omega$として、$\forall x$に対して $$ x\in\overline{(A\cap B)}\Rightarrow x\in\Omega\setminus (A\cap B)\\ \Rightarrow x\in\{x\in\Omega\land x\notin (A\cap B)\}\\ \Rightarrow x\in\{(x\in\Omega\land x\notin A)\lor(x\in\Omega\land x\notin B)\}\\ \Rightarrow x\in(\{x\in\Omega\land x\notin A\}\cup\{x\in\Omega\land x\notin B)\})\\ \Rightarrow x\in\overline{A}\cup\overline{B} $$ よって、$\overline{(A\cap B)}\subset\overline{A}\cup\overline{B}$が成立する。同様に、$\forall x$に対して $$ x\in(\overline{A}\cup\overline{B}) \Rightarrow x\in(\{x\in\Omega\land x\notin A\}\cup\{x\in\Omega\land x\notin B)\})\\ \Rightarrow x\in\{(x\in\Omega\land x\notin A)\lor(x\in\Omega\land x\notin B)\}\\ \Rightarrow x\in\{x\in\Omega\land x\notin (A\cap B)\}\\ \Rightarrow x\in\Omega\setminus (A\cap B)\Rightarrow x\in\overline{(A\cap B)} $$ より、$\overline{A}\cup\overline{B}\Rightarrow\overline{(A\cap B)}$が成立する。以上より $$ \overline{(A\cap B)}=\overline{A}\cup\overline{B} $$

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再び有名な証明問題です。「実数全体$\mathbb{R}$は非可算無限集合である」

1. 区間$[0, 1)$の実数を加算有限集合と仮定する。
2. 無限桁の2進数によりそれらの実数を表す。
3. それらの実数を任意の順で並べる。
4. n番目の数値の小数点以下の桁を0なら1、1なら0に変えていき、変えた数値を各桁に持つ新しい実数を1つ生成する。
5. その新しい実数は表のいずれの実数ともn桁目が異なり、それゆえこの表には含まれないため、1.の仮定に反する。
6. よって$[0, 1)$の実数は非可算無限集合である。

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有名な「素数は無限個存在する」という定理の証明を背理法で行います。

1. 「素数が有限個である」と仮定する。
2. $P$を、有限個の中で最大の素数$\dagger 1$とする。
3. $Q=P\ !+1$という数$Q$を考える。
4. $Q$が素数である場合は、明らかに$Q\gt P$であり、2.に反するので、$Q$は合成数$\dagger 2$。
5. $Q$が合成数である場合は、定義より$Q$を割り切る素数$R$が存在し、また$Q=P\ !+1$であることから、$Q$は$P$以下の全ての素数で割り切れないため、$R\gt P$であることになり、同じく2.に反す。
6. 2.を仮定すると、必ず矛盾が起きるため2.は成立しない。よって、素数は無限個数あることが証明された。

$\dagger 1$: 素数の定義：自然数$X$が$X$自身と$1$で割り切れ(自明)、かつそれら以外の全ての自然数で割り切れない$X$を素数と呼ぶ。
$\dagger 2$: 合成数の定義：自然数$Y$が$Y$自身と$1$で割り切れ(自明)、かつそれら以外の$Y$を割り切る素数が存在するとき、$Y$を合成数と呼ぶ。

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2項過程

時間間隔$[0, t]$において、$k$個の故障が起きる確率を考えます。まず離散時間の場合、単一の部品の故障確率を$p$、故障個数を表す確率変数を$X$とすれば、 $$\Pr\{X=k\}={}_n\mathrm{C}_k(1-p)^{n-k}p^k\ \ \ \ \ \ \ \text{for }k=1,2,...,n$$ 前回と同様に、単一の部品の故障率を$\lambda$、時間間隔$[0, t]$を$n$等分した一つの時間間隔を$\Delta t$とすれば、 $$p=\lambda\Delta t=\lambda\frac{t}{n}$$ よって、 $$\Pr\{X=k\}=\frac{n!}{(n-k)!k!}\left(1-\frac{\lambda t}{n}\right)^{n-k}\left(\frac{\lambda t}{n}\right)^k\ \ \ \ \ \ \ \text{for }k=1,2,...,n$$ 確率変数$X$は2項分布し、この確率変数は時間によって変化するため、$X(\omega)$と時刻$t$の直積をとった確率変数$X(\omega, t)$の集合$\{X(\omega, t)\}$を2項過程といいます。

ポアソン過程

前式において、$n\to\infty$の極限を取れば、 $$\Pr\{X=k\}=\lim_{n\to\infty}{}_n\mathrm{C}_k(1-p)^{n-k}p^k$$

$$=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n-k)!k!}\left(1-\frac{\lambda t}{n}\right)^{n-k}\left(\frac{\lambda t}{n}\right)^k$$

$$=\lim_{n\to\infty}\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{n^k}\cdot\frac{1}{k!}\left(1-\frac{\lambda t}{n}\right)^{n-k}\left(\lambda t\right)^k\\ =\frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t}$$ これをポアソン過程と呼びます。部品の故障は連続時間中に起こり、その確率は低いので、ポアソン過程として取り扱うことができます。

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今回は「確率モデル入門」(朝倉書店)からポアソン過程の部分を引用します。

確率過程

連続時間$t(\ge 0$)において確率法則が確率変数$X(t)$で表されるとき、確率変数の集まり$\{X(t),t\ge 0\}$は連続時間確率過程と呼ばれる。また、$X(t)$の取る値の集合は状態空間と呼ばれ、本稿では状態空間は離散形のみを取り扱う。

以前のポストでも確率過程を取り扱いましたが、基礎確率空間$(\Omega, \mathcal{F}, P)$において、任意の時刻$t$を固定した確率変数$X(\omega)$が$\mathcal{F}$可測となっていることが確率過程の条件となります。

計数過程

数(整数)を数える確率過程$\{N(t), t\ge 0\}$を計数過程という。

我々は$N$個の部品の故障数を数えているので、計数過程です。

独立増分過程

確率過程$\{X(t), t\ge 0\}$において、任意の$t_1\lt t_2\lt ...\lt t_n$に対し、確率変数 $$X(t_1)-X(t_0), X(t_2)-X(t_1),...,X(t_n)-X(t_{n-1})$$ が独立ならば、この確率過程は独立増分を持つという。

2項過程幾何分布

離散時間計数過程$\{N(n), n=1, 2, ...\}$において、故障確率$p (0\le p\le 1)$の試行列を考える。$N(1)=0$として、時刻$n$における故障事象の累積回数を$N(n)$とするとき、この確率過程をパラメータ$p$の2項過程幾何分布という。

この2項過程幾何分布は離散時間計数過程ですが、これを連続過程に移したらどうなるかを見てみます。時刻$0$から$t$までの時間間隔を$n$分割すれば、微小離散時間$\Delta t$は、 $$\Delta t=\frac{t}{n}$$ となり、図で表せば図198.1のようになります。

また、区間内の故障回数($\approx$故障確率)$p$を故障率$\lambda$で表せば、故障率は単位時間あたりの故障回数なので、 $$p=\lambda\Delta t=\frac{\lambda t}{n}$$ 時刻$t$の$n$回目で初めて故障が起きる確率は、各試行は独立であるため事象のANDは確率の積で表すことができるので、2項過程幾何分布より $$\Pr\{\text{item not fail in }n-1\cap \text{item fail at }n\}\\ =\Pr\{\text{item not fail in }n-1\}\Pr\{\text{item fail at }n\}=(1-p)^{n-1}p$$ となります。

ポアソン過程指数分布

$[0, t]$間での連続的な変化を考え、2項過程幾何分布において$n\to\infty, \Delta t\to 0$の極限をとります。ところが時刻$t$で初めて故障が起きる確率を求めるため、これは$P(X=t)$を求める事に対応するので、連続確率過程では確率はほとんど確実に(a.s.)$0$になります。従って、瞬間ではなく微小時間間隔$dt\to 0$での故障確率を考え、確率密度関数を$f(t)$とすれば、 $$\Pr\{X\in dt\}=\Pr\{X\in [t-dt, t)\}=\lim_{n\to\infty}(1-p)^{n-1}p\\ =\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{\lambda t}{n}\right)^{n-1}\lambda dt=e^{-\lambda t}\cdot \lambda dt=f(t)dt$$ よって、 $$f(t)=\lambda e^{-\lambda t}$$

$f(t)$は確率密度関数もしくはpdf(Probability Density Function)です。

連続時間での最初の故障までの確率密度関数が求められたので、これを$0$から$t$まで積分すれば、区間$[0, t]$での最初の故障の累積分布関数が求められます。最初の故障が起きるまでの時間はFFOT(Failure Free Operating Time; 無故障運転時間)とほとんど確実に(a.s.)一致します。 $$\int_0^t\lambda e^{-\lambda x}dx=1-e^{\lambda t}$$

2項過程幾何分布の連続系はポアソン過程指数分布と呼ばれ、累積分布は指数分布となります。故障はまれにしか起きない連続的な計数過程であるので、ポアソン過程指数分布でモデル化を行います。

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測度論に戻り、集合の包含関係を確認します。この記事は応用のための確率論から引用しています。

集合族$\mathfrak{I}$

長方形の面積を考えます。平面を集合と考えると、平面に属する点の集合は、$\mathbb{R}^2$で表されます。これを全体の集合$X(=\mathbb{R}^2)$とすると、長方形は$X$上の4点で定義されます。その全ての集合を$\mathfrak{I}$とすると、 $$\mathfrak{I}\subset X$$

集合族$\mathcal{J}$

次に、$\mathfrak{I}$から有限個の長方形を取り出し和を取った図形全体の集合を$\mathcal{J}$とすると、明らかに $$\mathfrak{I}\subset\mathcal{J}\subset X$$

オーバーラップしていますが、互いに背反(ノンオーバーラップ)な長方形を用いて等価変換できます。

集合族$\mathcal{T}$

一方、円や三角形等の図形は有限個の長方形では表せないため、高々加算個の背反な長方形$E_i$を用いて、 $$\sum_{i=1}^\infty E_i$$ で表される図形全体の集合を$\mathcal{T}$とすると、 $$\mathfrak{I}\subset\mathcal{J}\subset\mathcal{T}\subset X$$

集合族$\mathfrak{B}_2$

次に$\sigma$代数$\mathcal{F}$を考え、以下の性質を持つものとします。

長方形は全て$\mathcal{F}$に含まれる。

$E\in\mathcal{F}$ならば$E^c=X-E\in\mathcal{F}$

$E_i\in\mathcal{F}\ (i=1,2,...)$ならば$\bigcup_{i=1}^\infty E_i\in\mathcal{F}$

この性質を持つ$\mathcal{F}$は、この性質から $$\mathcal{T}\subset\mathcal{F}$$ となります。この性質を持つ様々な$\mathcal{F}_{\alpha}$の共通部分を

$$\mathfrak{B_2}=\bigcap_\alpha\mathcal{F}_\alpha$$ とし、これをボレル集合族と呼びます。あきらかにこれは$\mathcal{F}$の集合族の中で最小の集合族です。

集合族$\mathfrak{M}_\mu$

ボレル集合族は$\sigma$加法族として加法性が成立しているため、使いやすいものの、ボレル集合族に含まれる集合$A\in\mathfrak{B_2}$に対して測度$\mu(A)=0$となる$A$の部分集合が必ずしも$\mathfrak{B_2}$に含まれないため、これを全て加え拡張した集合族を$\mathfrak{M}_\mu$とします。

これらの集合族の包含関係を図示すると、図197.1のようになります。

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