PFH の定式化（修理系の危険事象と計数過程）

前稿までは、VSG を吸収集合とするサブシステムに対して PMHF を導きました。本稿からは PFH 側へ移ります。PFH 側では、危険状態に入った後も点検や修理により稼働状態へ復帰し得るので、危険状態集合は一般には吸収集合ではありません。本稿では区間平均量としての PFH を定義します。

サブシステム過程を $(\eta_t^\text{PFH})_{t\ge0}$ とし、稼働集合を $\mathcal M$、危険状態集合を $\mathcal P_\text{DF}$ とします。状態確率行ベクトルと生成行列を

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathbf p^\text{PFH}(t) =\bigl[\mathbf p_M(t)\ \mathbf p_P(t)\bigr], \\ \frac{d}{dt}\mathbf p^\text{PFH}(t)=\mathbf p^\text{PFH}(t)\mathbf Q^\text{PFH}, \\ \mathbf Q^\text{PFH} =\left(\matrix{ \mathbf Q_{MM} & \mathbf Q_{MP} \cr \mathbf Q_{PM} & \mathbf Q_{PP} }\right) \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1061.1} $$

と表します。ここで修理系では、一般に $\mathbf Q_{PM}\neq\mathbf 0$ です。

危険状態の時点不稼働確率を

$$ U_\text{DF}(t) :=\Pr\{\eta_t^\text{PFH}\in\mathcal P_\text{DF}\} =\mathbf p_P(t)\mathbf 1 \tag{1061.2} $$

と定義します。ここで $\mathbf 1$ は適切な次元の全成分 1 の列ベクトルです。

一方、稼働集合から危険状態集合への条件付き遷移率、すなわち Vesely 故障率は

$$ \lambda_V^\text{PFH}(t) :=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}^\text{PFH}\in\mathcal P_\text{DF}\mid\eta_t^\text{PFH}\in\mathcal M\}}{dt} =\frac{\mathbf p_M(t)\mathbf Q_{MP}\mathbf 1}{\mathbf p_M(t)\mathbf 1} \tag{1061.3} $$

です。

したがって、時刻 $t$ における危険状態への総流入頻度は

$$ w_\text{DF}(t) :=\mathbf p_M(t)\mathbf Q_{MP}\mathbf 1 =\Pr\{\eta_t^\text{PFH}\in\mathcal M\}\lambda_V^\text{PFH}(t) \tag{1061.4} $$

と書けます。これは、その時刻に稼働集合にいる確率と、その条件の下で危険状態へ移る率との積です。

他方、$U_\text{DF}(t)$ の時間変化は、危険状態への流入だけではなく、危険状態からの修理復帰にも依存します。(1061.2)を微分し、(1061.1)のブロック行列から $P$成分の前進方程式を取り出し、さらに生成行列の行和ゼロ$\mathbf{Q}_{PP}\mathbf{1}=-\mathbf{Q}_{PM}\mathbf 1$を用いると、危険状態確率の増加率は『流入 minus 流出』に書き直せるので

$$ \begin{eqnarray} \frac{d}{dt}U_\text{DF}(t) &=& \frac{d}{dt}\bigl(\mathbf p_P(t)\mathbf 1\bigr)\\ &=& \mathbf p_M(t)\mathbf Q_{MP}\mathbf 1+\mathbf p_P(t)\mathbf Q_{PP}\mathbf 1\\ &=& \mathbf p_M(t)\mathbf Q_{MP}\mathbf 1-\mathbf p_P(t)\mathbf Q_{PM}\mathbf 1 \end{eqnarray} \tag{1061.5} $$

となります。最後の等号では、各行の行和が 0 であることから $\mathbf Q_{PP}\mathbf 1=-\mathbf Q_{PM}\mathbf 1$ を用いました。したがって、修理系では一般に $dU_\text{DF}(t)/dt$ と $w_\text{DF}(t)$ は一致しません。

ここで、危険状態集合への進入回数を数える計数過程を $N_\text{DF}(t)$ とします。微小時間 $dt$ の間にその期待増分は

$$ E\{N_\text{DF}(t+dt)-N_\text{DF}(t)\} =w_\text{DF}(t)dt+o(dt) \tag{1061.6} $$

となるので、$W_\text{DF}(t):=E\{N_\text{DF}(t)\}$ とおけば、(1061.6)を$dt$で割って $dt\rightarrow0$とすると

$$ \frac{d}{dt}W_\text{DF}(t)=w_\text{DF}(t) \tag{1061.7} $$

です。

したがって、区間 $[0,T]$ における平均危険事象発生頻度は

$$ \mathrm{PFH}(0,T) :=\frac{1}{T}W_\text{DF}(T) =\frac{1}{T}\int_0^T w_\text{DF}(t)\,dt \tag{1061.8} $$

と定義できます。

さらに、希少事象近似の下で

$$ \Pr\{\eta_t^\text{PFH}\in\mathcal M\}\approx1 \tag{1061.9} $$

とみなせるとき、(1061.4)から

$$ w_\text{DF}(t)\approx\lambda_V^\text{PFH}(t) \tag{1061.10} $$

となります。したがって PFH は、Vesely 故障率の時間平均としても読めます。

ここで重要なのは、修理系では危険事象が繰返し起こり得るため、PFH が本質的に計数過程 $N_\text{DF}(t)$ に基づいて定義される、という点です。次稿では、この修理系の PFH と、吸収型の初回到達量としての PMHF とを、同じ確率論の枠で比較します。

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生成行列に基づく SPF/DPF の導出

前稿までで、$U_\text{SM}(t)$ を用いた VSG 到達密度の導出を終えたので、本稿では同じ結果が生成行列からも得られることを示します。ここでは状態を数値ではなく意味を持つ記号で表します。なお、以下の $\mathbf Q$ は区間内 $(\tau_k,\tau_{k+1})$ の生成行列であり、PIR による回復は含みません。PIR は検査時刻での境界条件として与えます。

区間内のサブシステム過程 $(\eta_t^\text{sub})_{t\ge0}$ の状態順序を

$$ \mathcal S=\bigl(\mathrm{OPR},\mathrm{LAT}_U,\mathrm{LAT}_D,\mathrm{ABS}_\text{SPF},\mathrm{ABS}_\text{DPF}\bigr) \tag{1060.1} $$

とします。ここで $\mathrm{OPR}$ は通常稼働状態、$\mathrm{LAT}_U$ は未検出の潜在状態、$\mathrm{LAT}_D$ は検出対象の潜在状態、$\mathrm{ABS}_\text{SPF}$ と $\mathrm{ABS}_\text{DPF}$ はそれぞれ SPF と DPF に対応する吸収状態です。

IF 側および SM 側の率分解を

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \lambda_\text{IF,SPF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF},\\ \lambda_\text{IF,DPF}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF},\\ \lambda_\text{IF}=\lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF},\\ \lambda_\text{SM,U}=(1-K_\text{SM,DPF})\lambda_\text{SM},\\ \lambda_\text{SM,D}=K_\text{SM,DPF}\lambda_\text{SM} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1060.2} $$

とします。

状態順序(1060.1)と率分解(1060.2)に従い、各状態からの遷移率を行ごとに並べると この順序に対応する区間内生成行列 $\mathbf Q$ は

$$ \mathbf Q=\left(\matrix{ -(\lambda_\text{SM,U}+\lambda_\text{SM,D}+\lambda_\text{IF,SPF}) & \lambda_\text{SM,U} & \lambda_\text{SM,D} & \lambda_\text{IF,SPF} & 0 \cr 0 & -\lambda_\text{IF} & 0 & \lambda_\text{IF,SPF} & \lambda_\text{IF,DPF} \cr 0 & 0 & -\lambda_\text{IF} & \lambda_\text{IF,SPF} & \lambda_\text{IF,DPF} \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }\right) \tag{1060.3} $$

です。

稼働集合と吸収集合を

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathcal M:=\{\mathrm{OPR},\mathrm{LAT}_U,\mathrm{LAT}_D\},\\ \mathcal P_\text{SPF}:=\{\mathrm{ABS}_\text{SPF}\},\\ \mathcal P_\text{DPF}:=\{\mathrm{ABS}_\text{DPF}\},\\ \mathcal P_\text{VSG}:=\mathcal P_\text{SPF}\cup\mathcal P_\text{DPF} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1060.4} $$

と定義します。

状態確率行ベクトルを

$$ \mathbf p(t)=\bigl(p_\text{OPR}(t),p_{\mathrm{LAT}_U}(t),p_{\mathrm{LAT}_D}(t),p_{\mathrm{ABS}_\text{SPF}}(t),p_{\mathrm{ABS}_\text{DPF}}(t)\bigr), \qquad \frac{d}{dt}\mathbf p(t)=\mathbf p(t)\mathbf Q \tag{1060.5} $$

とします。一方、PIR は検査時刻での瞬時リセットとして

$$ \mathbf p(\tau_k^+)=\mathbf p(\tau_k^-)\mathbf R, \qquad \mathbf R=\left(\matrix{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \cr 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 }\right) \tag{1060.6} $$

で与えます。したがって、PIR により $\mathrm{LAT}_D$ の確率質量だけが $\mathrm{OPR}$ に戻ります。

すると、前進方程式の第4成分および第5成分より

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \frac{d}{dt}p_{\mathrm{ABS}_\text{SPF}}(t)=\lambda_\text{IF,SPF}\bigl(p_\text{OPR}(t)+p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)\bigr),\\ \frac{d}{dt}p_{\mathrm{ABS}_\text{DPF}}(t)=\lambda_\text{IF,DPF}\bigl(p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)\bigr) \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1060.7} $$

を得ます。

ここで初期時刻では吸収状態に確率質量はなく、しかも $\mathrm{ABS}_\text{SPF}$ と $\mathrm{ABS}_\text{DPF}$ は吸収状態なので、

$$ F_\text{SPF}(t)=p_{\mathrm{ABS}_\text{SPF}}(t), \qquad F_\text{DPF}(t)=p_{\mathrm{ABS}_\text{DPF}}(t) \tag{1060.8} $$

です。したがって

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} f_\text{SPF}(t)=\lambda_\text{IF,SPF}\bigl(p_\text{OPR}(t)+p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)\bigr),\\ f_\text{DPF}(t)=\lambda_\text{IF,DPF}\bigl(p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)\bigr) \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1060.9} $$

となります。

ここで、希少事象近似$\lambda_\text{VSG}t\ll1$の下では

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} p_\text{OPR}(t)+p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)=1-F_\text{VSG}(t)\approx1-\lambda_\text{VSG}t\approx1,\\ p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\mid\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\approx U_\text{SM}(t) \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1060.10} $$

です。したがって

$$ f_\text{VSG}(t)=f_\text{SPF}(t)+f_\text{DPF}(t)\approx\lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}U_\text{SM}(t) \tag{1060.11} $$

を得ます。これは前稿までの導出と一致します。したがって、PMHF の SPF 項および DPF 項は、生成行列に基づく CTMC からも同じ形で導かれます。

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PoF と PMHF の定義および最終式の導出

前稿で VSG 到達密度の近似式 (1058.13) を得たので、本稿では PoF と PMHF の定義から PMHF の最終式を導きます。以下、車両寿命を $T:=T_\text{lifetime}$ とし、$T=n\tau$ を仮定します。

まず、車両寿命 $T$ までに VSG が発生する確率を $\mathrm{PoF}_\text{VSG}(T)$ と書くと、PMHF は

$$ \mathrm{PMHF}(T) =\frac{1}{T}\mathrm{PoF}_\text{VSG}(T) =\frac{1}{T}F_\text{VSG}(T) =\frac{1}{T}\int_0^T f_\text{VSG}(t)\,dt \tag{1059.1} $$

です。

ここで前稿の (1058.13) を (1059.1) に代入すると

$$ \mathrm{PMHF}(T)\approx\lambda_\text{IF,SPF}+\frac{\lambda_\text{IF,DPF}}{T}\int_0^T U_\text{SM}(t)\,dt \tag{1059.2} $$

となります。

さらに前々稿の (1057.8) を用いると

$$ \frac{1}{T}\int_0^T U_\text{SM}(t)\,dt =\frac{1-K_\text{SM,DPF}}{T}\int_0^T F_\text{SM}(t)\,dt+\frac{K_\text{SM,DPF}}{T}\int_0^T F_\text{SM}(u)\,dt \tag{1059.3} $$

です。

ここで $T=n\tau$ なので、第2項は周期ごとに同じ積分の繰返しとなり、

$$ \int_0^T F_\text{SM}(u)\,dt =\sum_{k=0}^{n-1}\int_{k\tau}^{(k+1)\tau}F_\text{SM}(t-k\tau)\,dt =n\int_0^\tau F_\text{SM}(u)\,du \tag{1059.4} $$

と変形できます。

また、前々稿の (1057.9) を用いると、第1項は

$$ \frac{1}{T}\int_0^T F_\text{SM}(t)\,dt \approx\frac{1}{T}\int_0^T \lambda_\text{SM}t\,dt =\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}T \tag{1059.5} $$

となります。

同様に、第2項は

$$ \frac{1}{T}\int_0^T F_\text{SM}(u)\,dt \approx\frac{1}{T}n\int_0^\tau \lambda_\text{SM}u\,du =\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\tau \tag{1059.6} $$

となります。

したがって (1059.3) は

$$ \frac{1}{T}\int_0^T U_\text{SM}(t)\,dt \approx\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \tag{1059.7} $$

となるので、これを (1059.2) に代入すると

$$ \mathrm{PMHF}(T)\approx\lambda_\text{IF,SPF}+\frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\lambda_\text{SM}\bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \tag{1059.8} $$

です。

最後に、前稿の (1058.5) を用いると

$$ \mathrm{PMHF}(T)\approx(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+\frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \tag{1059.9} $$

を得ます。

ここで第1項は IF の残留故障に由来する SPF 項であり、第2項は SM の潜在故障確率と IF の多重点故障側故障率の積として現れる DPF 項です。したがって、PMHF は SPF 項と DPF 項の和として理解できます。

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